Формула Циолковского и Сатурн-5
Что
формула Циолковского может рассказать о РН Сатурн-5? Оказывается, может
рассказать многое. Например, может доказать, что теоретически эта
ракета действительно имела все возможности отправить людей на Луну,
вопреки инсинуациям известного (в кругах адептов секты Свидетелей
Непокорённой Луны) лжеучёного Александра Попова.
Вот исходные данные (Википедия):
Заявленная стартовая масса комплекса Saturn-5/Apollo - 2965 т.
Сухая масса первой ступени РН Saturn-5 - 137 т.
Масса топлива - 2077 т.
Удельный импульс - 2,58 км/с (керосин/кислород)
Сухая масса второй ступени РН Saturn-5 - 40,1 т.
Масса топлива - 456,1 т.
Удельный импульс - 4,13 км/с (водород/кислород)
Сухая масса третьей ступени РН Saturn-5 - 15,2 т.
Масса топлива - 107,8 т.
Удельный импульс - 4,13 км/с (водород/кислород)
Массу ПН на НОО оценим с помощью формулы Циолковского.
Поехали!
1) В конце работы первой ступени будет достигнута характеристическая скорость
V = I * ln(M/m) , где:
I - удельный импульс для пары керосин/кислород (2,58 км/с);
M - заявленная стартовая масса комплекса Saturn-5/Apollo (2965 т.);
m - масса комплекса после выключения двигателей первой ступени: стартовая масса минус масса сгоревшего топлива = 888 т.
V = 2,58 * ln(2965/888) = 3,11 км/с
3) Для выхода на НОО должна быть достигнута характеристическая скорость 9,4 км/с.
Значит третья ступень должна сообщить комплексу прирост характеристической скорости величиной равной 9,4 - 3,11 - 3,86 = 2,43 км/c . А масса комплекса в начале работы третьей ступени ещё уменьшится за счёт отделения второй ступени (294,9 - 40,1 = 254,8 т.). Тогда формула Циолковского примет вид:
2,43 = 4,13 * ln(254,8/m), где m - конечная масса комплекса на НОО.
Откуда m = 141,5 т. Что и требовалось доказать. В той же статье из Википедии, откуда мы брали исходные данные для этого расчёта, сказано: "Сатурн-5 является рекордсменом по самой тяжелой запущенной полезной нагрузке и наибольшей грузоподъемности на низкую околоземную орбиту: 311 152 фунта (141 136 кг), включая третью ступень и несгоревшее топливо , необходимое для отправки командно-служебного модуля Аполлона и лунного модуля на Луну." Как видим, несмотря на то, что мы не учитывали такие нюансы как сброс на этапе работы второй ступени САС, полученный в ходе расчёта результат с точностью до четвёртого знака совпал с данными Википедии.
Возникает законный вопрос: что помешало доктору технических наук А.И. Попову с помощью подобного расчёта убедиться в способности РН Сатурн-5 отправить на Луну шесть лунных экспедиций? Уж не тот ли факт, что Александр Иванович является персонажем Фрикопедии?
Вот исходные данные (Википедия):
Заявленная стартовая масса комплекса Saturn-5/Apollo - 2965 т.
Сухая масса первой ступени РН Saturn-5 - 137 т.
Масса топлива - 2077 т.
Удельный импульс - 2,58 км/с (керосин/кислород)
Сухая масса второй ступени РН Saturn-5 - 40,1 т.
Масса топлива - 456,1 т.
Удельный импульс - 4,13 км/с (водород/кислород)
Сухая масса третьей ступени РН Saturn-5 - 15,2 т.
Масса топлива - 107,8 т.
Удельный импульс - 4,13 км/с (водород/кислород)
Массу ПН на НОО оценим с помощью формулы Циолковского.
Поехали!
1) В конце работы первой ступени будет достигнута характеристическая скорость
V = I * ln(M/m) , где:
I - удельный импульс для пары керосин/кислород (2,58 км/с);
M - заявленная стартовая масса комплекса Saturn-5/Apollo (2965 т.);
m - масса комплекса после выключения двигателей первой ступени: стартовая масса минус масса сгоревшего топлива = 888 т.
V = 2,58 * ln(2965/888) = 3,11 км/с
2) В
конце работы второй ступени будет достигнут прирост характеристической
скорости
V = I * ln(M/m) , где:
I - удельный импульс для пары водород/кислород (4,13 км/с);
М - масса комплекса Saturn-5/Apollo после отделения первой ступени (888 - 137 = 751 т.)
m - масса комплекса в конце работы второй ступени (751 - 456,1 = 294,9 т.)
V = 4,13 * ln(751/294,9) = 3,86 км/сV = I * ln(M/m) , где:
I - удельный импульс для пары водород/кислород (4,13 км/с);
М - масса комплекса Saturn-5/Apollo после отделения первой ступени (888 - 137 = 751 т.)
m - масса комплекса в конце работы второй ступени (751 - 456,1 = 294,9 т.)
3) Для выхода на НОО должна быть достигнута характеристическая скорость 9,4 км/с.
Значит третья ступень должна сообщить комплексу прирост характеристической скорости величиной равной 9,4 - 3,11 - 3,86 = 2,43 км/c . А масса комплекса в начале работы третьей ступени ещё уменьшится за счёт отделения второй ступени (294,9 - 40,1 = 254,8 т.). Тогда формула Циолковского примет вид:
2,43 = 4,13 * ln(254,8/m), где m - конечная масса комплекса на НОО.
Откуда m = 141,5 т. Что и требовалось доказать. В той же статье из Википедии, откуда мы брали исходные данные для этого расчёта, сказано: "Сатурн-5 является рекордсменом по самой тяжелой запущенной полезной нагрузке и наибольшей грузоподъемности на низкую околоземную орбиту: 311 152 фунта (141 136 кг), включая третью ступень и несгоревшее топливо , необходимое для отправки командно-служебного модуля Аполлона и лунного модуля на Луну." Как видим, несмотря на то, что мы не учитывали такие нюансы как сброс на этапе работы второй ступени САС, полученный в ходе расчёта результат с точностью до четвёртого знака совпал с данными Википедии.
Возникает законный вопрос: что помешало доктору технических наук А.И. Попову с помощью подобного расчёта убедиться в способности РН Сатурн-5 отправить на Луну шесть лунных экспедиций? Уж не тот ли факт, что Александр Иванович является персонажем Фрикопедии?
5 декабря 2023 года.
